Beau

好了，Jo，我感觉上次聊完之后，我对这个log符号总算没那么陌生了。只要一看到，比如说，log下标2然后括号里一个8，我脑子里就会自动翻译成‘2的几次方等于8’。这个思路翻转一下，感觉清楚多了。

Jo

没错，能做到这个自动翻译，核心概念就已经掌握了。其实数学家跟程序员一样，有时候也挺‘懒’的，总想着用最简单的方式表达最常用的东西。

Beau

哦？怎么个懒法？log已经够简写了啊。

Jo

你想想，在咱们日常生活中，最常用的数字系统是几进制的？我们数数，一、二、三……数到九，下一个就是‘进一位’变成十。

Beau

十进制啊，我们有十个手指头嘛，天生就是用十进制的。

Jo

完全正确。所以以10为底的对数，就变得特别特别常用。常用到大家甚至约定俗成，如果我不写底数，默认就是10。这就是刚才说的‘懒’法。

Beau

等等，你的意思是，如果我看到一个log后面直接跟着一个数，比如log 100，那个小小的下标数字不见了，我就应该默认它是log以10为底的100？

Jo

正是。所以log 100等于多少？

Beau

呃，翻译一下就是……10的几次方等于100？那……是2。10的2次方是100。

Jo

完美。所以log 1000呢？

Beau

10的……3次方等于1000。所以答案是3。我发现了，后面有几个零，答案就是几。

Jo

对，这正是以10为底的美妙之处。它衡量的就是‘数量级’。这种不写底数的对数，我们称之为‘常用对数’，common logarithm。有些计算器或者书上，为了更明确，也会把它写作lg。

Beau

lg？L-G？就是log的另一种写法？

Jo

是专门指以10为底的对数的写法。所以log 100，和lg 100，意思完全一样。这在很多科学领域里特别有用，比如衡量地震的里氏震级，或者溶液的pH酸碱度，都是基于常用对数。

Beau

啊，原来是这样。所以地震震级差一级，实际能量差了好多倍，就是因为这个对数的关系？

Jo

完全正确，震级差1，能量就差了10倍。这就是对数把巨大的、难以比较的数字，压缩到一个我们可以轻松处理的范围里。

Beau

明白了，所以log或者lg，是我们的‘老熟人’，因为我们用十进制。那……有没有其他‘老熟人’？或者说，有没有另一个也这么特殊，有自己专属简称的底数？

Jo

问到点子上了。有，而且非常非常重要。它就是以一个特殊的无理数e为底的对数。我们称之为‘自然对数’。

Beau

e？字母e？像pi一样是个无限不循环小数吗？自然对数……听起来就好深奥。

Jo

是的，它和圆周率pi是亲戚，都是超越数。e约等于2.718。你现在不需要知道它是怎么来的，只需要知道，这个数字在描述自然界的生长、衰变等现象时，无处不在。

Beau

比如……细胞分裂或者存钱的复利？

Jo

正是。凡是涉及到连续增长的过程，e就会出现。所以，以e为底的对数，log下标e，也得到了一个自己的简称，写作ln。

Beau

ln，L-N？为什么是ln？

Jo

它来自拉丁语logarithmus naturalis，就是自然对数的意思。所以，当你看到ln(x)，就要立刻在脑子里翻译成：log以e为底的x，也就是e的几次方等于x？

Beau

好的，这个也需要记一下。所以lg和ln是两个VIP，有自己的专属名字。那如果我拿出手机里的计算器，要算这些东西，应该怎么按？

Jo

你打开科学计算器模式，通常会直接看到三个按钮。一个就是‘log’，它对应的就是我们说的常用对数lg，也就是以10为底。旁边可能还有一个‘ln’，这个就是自然对数，以e为底。

Beau

我看看……啊，真的有！一个log，一个ln。那我如果想算我们最开始举的例子，log以2为底的8，该按哪个？

Jo

好问题。有些高级的计算器会有一个可以让你自定义底数的按钮，可能是log下标一个方块。但大部分基础的科学计算器只提供log和ln。要计算任意底数，就需要用到我们后面会讲的换底公式了。不过现在，你只要知道，如果你需要处理和10的幂次或者和自然增长相关的问题，计算器上这两个按钮就能直接帮你解决。

Beau

明白了。所以总结一下：log不写底数，默认是10，是‘常用对数’lg，处理跟10和数量级有关的问题。ln是log以e为底的对数，是‘自然对数’，处理跟自然生长有关的问题。一个是人造的方便，一个是天然的存在。

Jo

这个总结非常到位。‘人造的方便’和‘天然的存在’，很形象地概括了它们俩各自的特点。