Beau

嘿，Jo。我昨天在看一个视频，就是那种……呃，拿一张纸不停地对折，看它能折多少次。

Jo

哦？那种挑战视频？据说最多也就七八次吧，不管纸多大。

Beau

是啊，重点是，我发现它变厚的速度太吓人了。折一次是两层，两次变四层，三次就八层了……感觉后面会变得特别快。

Jo

你这正好就碰到了我们今天要聊的东西的核心了。你说的这个“变厚的速度”，其实就是一种指数增长。

Beau

指数……这个词我听过，但是……具体是什么来着？感觉好像上学的时候学过，但都还给老师了。

Jo

哈哈，很正常。其实它就是从乘法升级过来的。你看，3个2相加，是2+2+2，我们为了方便就写成 2 乘以 3，对吧？

Beau

对，这个我知道，小学知识。

Jo

那指数运算，或者叫幂运算，就是把这里的“加法”换成“乘法”。如果是3个2相乘呢？就是 2 乘以 2 乘以 2。

Beau

哦……所以为了方便，我们就发明了一个新的写法？

Jo

完全正确。我们就把它写成 2 的 3 次方。就是一个大大的2，然后在它的右上角写一个很小的3。

Beau

明白了。所以 2 的 3 次方，就是 3 个 2 连着乘。结果是……2 乘 2 等于 4，4 再乘 2 等于 8。

Jo

对。在这个式子里，这几个数字都有自己的名字。下面那个大大的 2，那个被重复乘的数，我们管它叫‘底数’。

Beau

底数，因为它在底下，好记。

Jo

没错。然后右上角那个小小的 3，也就是重复了多少次，这个就叫‘指数’。

Beau

指数……指示重复次数的数字？

Jo

可以这么理解。所以底数是‘谁’在做乘法，指数是‘做几次’。那最后算出来的那个结果，8，就叫‘幂’。

Beau

底数，指数，幂。好，这三个词我记住了。所以，回到我那个折纸的问题，折一次是2的一次方，等于2层。折两次就是2的二次方……就是两个2相乘，等于4层。折三次就是2的三次方，等于8层。

Jo

你理解得非常快。这就是为什么它变厚的速度那么吓人。我们来试一个大一点的数。比如，10的6次方是多少？

Beau

10的6次方……就是6个10相乘。10 乘 10 是 100，再乘 10 是 1000……哦，就是1后面跟6个0吧？

Jo

对，一百万。你看，指数只是从3变成了6，底数甚至都不是一个很大的数，但结果就从8一下子跳到了一百万。

Beau

哇，这个……这个增长确实很恐怖。平时我们说的“指数级增长”，就是这个意思吧？一开始慢吞吞的，然后突然一下就爆炸了。

Jo

是的。这就是指数增长最直观的感受。想想国际象棋棋盘和米粒的那个古老故事？第一个格放1粒米，第二个格放2粒，第三个格放4粒……每个格子都是前一个的两倍。

Beau

哦我知道那个！最后国王根本拿不出那么多米来，对吧？

Jo

对，因为到第64个格，需要放的米是2的63次方粒。这个数字大到……超过了全世界有史以来生产过的所有大米的总和。你看，底数只是2，但指数到了63，结果就成了天文数字。

Beau

天哪，这么夸张。所以，整个这个运算的核心，其实就是三个部分：底数，指数，和最后的结果，也就是幂。

Jo

没错。我们可以把这个关系看成一个等式结构。比如：底数，它的指数次方，等于幂。就像 2 的 3 次方等于 8。这是一个非常稳固的结构。

Beau

嗯……这个结构里，我们现在做的事情，是知道了底数（2）和指数（3），然后去计算幂（8）。

Jo

说得非常精准。这是最顺向的思维，我们称之为‘求幂’。但你想想，一个等式里有三个变量，我们是不是也可以反过来问问题？

Beau

反过来问……你是说，比如，我知道底数是2，结果是8，但是我不知道指数是多少？

Jo

Bingo！这其实就是我们整个课程后面要讨论的核心。这个问题就是：“2需要进行多少次自我相乘，才能得到8？”

Beau

哦！这个问题……它的答案就是3。感觉这就像是在做一种逆向的运算。

Jo

完全正确。当我们想要‘求指数’的时候，我们就需要一种新的数学工具。而这个工具，就是我们接下来要探索的——对数。

Beau

哇，原来是这样。所以对数就是指数运算的……反操作？专门用来找那个小小的、挂在右上角的数字的？

Jo

你已经抓到精髓了。先理解清楚指数这个正向过程——底数、指数、幂三者的关系，我们才能更好地理解这个逆向过程到底在做什么。