Pour valider des séries temporelles synthétiques, notamment dans le secteur de l'énergie, comparer les moyennes ou les écarts-types est insuffisant. Ces métriques masquent des divergences cruciales dans la forme des distributions. Un générateur de données peut reproduire parfaitement la consommation moyenne, tout en échouant à modéliser les pics de demande ou les creux de production, des événements rares mais critiques pour l'analyse des risques et la stabilité des micro-réseaux.

La véritable fidélité, dite marginale, ne réside pas dans la concordance de quelques indicateurs, mais dans la capacité du modèle génératif, tel qu'un GAN, à répliquer l'intégralité de la distribution de chaque variable : puissance, tension, fréquence. Nous devons vérifier si la forme de la distribution synthétique correspond à celle des données réelles. C'est ici qu'intervient le test de Kolmogorov-Smirnov (KS), un outil non paramétrique puissant pour quantifier cet écart.

Contrairement aux tests qui comparent des paramètres spécifiques, le test KS évalue la distance entre les fonctions de répartition cumulées (CDF) des deux échantillons. La CDF, notée $F(x)$, représente la probabilité qu'une variable aléatoire $X$ prenne une valeur inférieure ou égale à $x$. Pour deux distributions, l'une réelle et l'autre synthétique, le test KS identifie le point où leurs CDF sont les plus éloignées.

Cette distance maximale est la statistique $D$. Si $F_{réel}(x)$ est la CDF empirique des données observées et $F_{synth}(x)$ celle des données générées, la statistique $D$ est définie comme :

Une valeur de $D$ faible indique une bonne adéquation, tandis qu'une valeur élevée signale une divergence distributionnelle. La véritable force du test KS est sa sensibilité uniforme sur tout le domaine de la distribution. Contrairement aux tests basés sur les moments (moyenne, variance), il détecte efficacement les déviations dans les queues de distribution — les zones représentant les événements extrêmes comme les pics de consommation ou les pannes.

Dans l'analyse des risques énergétiques, une sous-estimation de la probabilité de ces événements extrêmes peut conduire à des planifications de capacité inadéquates et à une infrastructure vulnérable. Le test KS est donc un garde-fou essentiel.

La statistique $D$ est ensuite convertie en p-value. L'hypothèse nulle ($H_0$) est que les deux échantillons proviennent de la même distribution. Une p-value faible (typiquement < 0.05) suggère de rejeter $H_0$, indiquant que les distributions sont statistiquement différentes. Cependant, avec des données massives (Big Data), le test devient extrêmement sensible et peut détecter des différences infimes mais sans importance pratique. Il est donc crucial de ne pas se fier uniquement à un seuil de p-value rigide. La valeur de la statistique $D$ elle-même devient un indicateur de fidélité plus nuancé : un $D$ faible avec une p-value faible signifie une divergence statistiquement significative mais potentiellement négligeable en pratique.

Un système énergétique est caractérisé par de multiples variables interdépendantes (puissance active, réactive, tension, etc.). Évaluer la fidélité marginale nécessite d'appliquer le test KS à chaque variable individuellement. On obtient alors un vecteur de scores KS, par exemple $[D_{\text{puissance}}, D_{\text{tension}}, D_{\text{fréquence}}]$.

Pour obtenir un score de fidélité global, ces statistiques $D$ peuvent être agrégées. Une approche simple est de calculer la moyenne des scores $D$ :

Cette agrégation fournit une métrique unique pour comparer rapidement différents modèles génératifs ou différentes itérations d'un même modèle. Un score agrégé plus faible indique une meilleure fidélité marginale globale sur l'ensemble des dimensions analysées. Cette méthode, bien que simple, offre une vue d'ensemble puissante de la performance d'un générateur de séries temporelles synthétiques dans la capture des dynamiques complexes des systèmes énergétiques.

Avant de conclure, vérifions votre compréhension des concepts abordés.