No history yet

Числа і вирази

Світ чисел

Математика починається з чисел. Ми використовуємо їх щодня, щоб рахувати гроші, вимірювати час або просто гортати сторінки книги. Але не всі числа однакові. Давайте розберемося в їхніх основних типах.

Натуральні числа

adjective

Це числа, які ми використовуємо для лічби: 1, 2, 3, і так далі до нескінченності. Вони є основою для всіх інших числових систем.

Якщо до натуральних чисел додати нуль (0) і всі від'ємні відповідники (–1, –2, –3, ...), ми отримаємо цілі числа. Вони допомагають описувати не тільки кількість, але й такі поняття, як борг або температура нижче нуля.

Наступний крок — раціональні числа. Це будь-яке число, яке можна представити у вигляді дробу mn\frac{m}{n}, де mm — ціле число, а nn — натуральне. Сюди входять усі цілі числа (адже, наприклад, 5 можна записати як 51\frac{5}{1}), а також звичайні дроби, як 12\frac{1}{2} або −34-\frac{3}{4}.

Цікаво, що будь-який раціональний дріб можна представити у вигляді скінченного або нескінченного періодичного десяткового дробу. Наприклад, 14=0.25\frac{1}{4} = 0.25, а 13=0.333...\frac{1}{3} = 0.333...

Але існують числа, які неможливо записати у вигляді простого дробу. Їх називають ірраціональними. Їх десяткове представлення нескінченне і неперіодичне. Найвідоміші приклади — це число π\pi (приблизно 3.14159...) і квадратний корінь з двох 2\sqrt{2} (приблизно 1.41421...).

Арифметичні операції

З числами можна виконувати дії. Чотири основні арифметичні операції — це додавання, віднімання, множення та ділення. Ці операції мають властивості, які допомагають спрощувати обчислення. Найважливіші з них — комутативна, асоціативна та дистрибутивна.

a+b=b+aa⋅b=b⋅aa+b=b+a \\ a \cdot b = b \cdot a
(a+b)+c=a+(b+c)(a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c)(a+b)+c = a+(b+c) \\ (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)
a⋅(b+c)=a⋅b+a⋅ca \cdot (b+c) = a \cdot b + a \cdot c

Робота з дробами

Дроби здаються складними, але дії з ними підкоряються чітким правилам. Щоб додавати або віднімати дроби, їх спочатку потрібно звести до спільного знаменника.

ab+cd=a⋅d+c⋅bb".d\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d + c \cdot b}{b ". d}

Множення та ділення дробів є простішими операціями. Для множення достатньо перемножити чисельники та знаменники.

ab⋅cd=a⋅cb⋅d\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

Щоб поділити один дріб на інший, потрібно перший дріб помножити на дріб, обернений до другого.

ab÷cd=ab⋅dc=a⋅db⋅c\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}

Степені та корені

Степінь — це скорочений запис множення числа на самого себе. Наприклад, 535^3 означає 5⋅5⋅55 \cdot 5 \cdot 5. Число, яке множать, називається основою, а кількість разів — показником степеня. Зворотна операція до піднесення до степеня — це добування кореня.

Існують корисні властивості, які значно спрощують роботу зі степенями.

ВластивістьФормулаПриклад
Множення степенівam⋅an=am+na^m \cdot a^n = a^{m+n}23⋅22=23+2=25=322^3 \cdot 2^2 = 2^{3+2} = 2^5 = 32
Ділення степенівam÷an=am−na^m \div a^n = a^{m-n}35÷33=35−3=32=93^5 \div 3^3 = 3^{5-3} = 3^2 = 9
Степінь степеня(am)n=am⋅n(a^m)^n = a^{m \cdot n}(42)3=42⋅3=46=4096(4^2)^3 = 4^{2 \cdot 3} = 4^6 = 4096
Степінь добутку(a⋅b)n=an⋅bn(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n(2⋅5)3=23⋅53=8⋅125=1000(2 \cdot 5)^3 = 2^3 \cdot 5^3 = 8 \cdot 125 = 1000

Спрощення алгебраїчних виразів

Алгебраїчний вираз — це комбінація чисел, змінних (букв) та арифметичних операцій. Наприклад, $2x + 3y - 5$ є алгебраїчним виразом.

Основна мета роботи з такими виразами — їх спрощення. Це означає виконання всіх можливих дій та зведення подібних доданків.

Подібними називаються доданки, які мають однакову буквену частину. Наприклад, у виразі 7a+2b−3a7a + 2b - 3a доданки 7a7a та −3a-3a є подібними.

Щоб звести подібні доданки, потрібно додати або відняти їхні коефіцієнти (числа перед буквами), а буквену частину залишити без змін. Розглянемо приклад.

Спростити вираз: 5(x+2)−3(x−1)5(x+2) - 3(x-1).

  1. Розкриваємо дужки, використовуючи дистрибутивну властивість: 5⋅x+5⋅2−3⋅x−3⋅(−1)=5x+10−3x+35 \cdot x + 5 \cdot 2 - 3 \cdot x - 3 \cdot (-1) = 5x + 10 - 3x + 3.

  2. Групуємо подібні доданки: (5x−3x)+(10+3)(5x - 3x) + (10 + 3).

  3. Виконуємо дії: 2x+132x + 13.

Вираз спрощено. Подальші дії з ним неможливі, поки ми не знаємо значення xx.

Quiz Questions 1/6

Яке з наведених чисел є ірраціональним?

Quiz Questions 2/6

Спростіть алгебраїчний вираз: 3(x+5)−(x−2)3(x + 5) - (x - 2)

Розуміння цих основних концепцій є фундаментом для всієї подальшої математики. Вони дозволяють аналізувати складніші проблеми та знаходити елегантні рішення.