Le cokrigeage multifidélité repose sur un principe clé : modéliser la réponse de haute fidélité (HF) comme une version ajustée de la réponse de basse fidélité (LF). Le modèle autorégressif de Kennedy et O'Hagan formalise cette relation. Il postule que la sortie du modèle HF, $y_{HF}(x)$, peut être exprimée en fonction de la sortie du modèle LF, $y_{LF}(x)$.

Dans cette structure, $y_{LF}(x)$ et $\delta(x)$ sont tous deux modélisés comme des processus gaussiens. La clé est que le modèle LF est supposé être corrélé avec le modèle HF, mais moins coûteux à évaluer. Le terme $\delta(x)$ capture le biais systématique du modèle LF. La puissance de cette approche réside dans sa capacité à exploiter les nombreuses évaluations LF pour comprendre la structure globale du problème, tout en utilisant les quelques évaluations HF, plus précieuses, pour affiner les prédictions et corriger les erreurs locales.

Pour faire une prédiction en un nouveau point $x^*$, le cokrigeage conditionne le processus gaussien conjoint sur l'ensemble des données observées, qu'elles soient de haute ou de basse fidélité ($D_{HF}$ et $D_{LF}$). La prédiction est une combinaison linéaire des observations, où les poids sont déterminés par les structures de covariance. La matrice de covariance complète pour un ensemble de points $X = [X_{LF}, X_{HF}]$ est une matrice par blocs.

En utilisant le modèle autorégressif, la covariance croisée peut être exprimée comme $\text{Cov}(y_{LF}(x_i), y_{HF}(x_j)) = \rho \cdot \text{Cov}(y_{LF}(x_i), y_{LF}(x_j))$. La variance du modèle HF devient $\text{Var}(y_{HF}(x)) = \rho^2 \cdot \text{Var}(y_{LF}(x)) + \text{Var}(\delta(x))$. Ces relations permettent de construire la matrice de covariance complète en utilisant les noyaux de covariance des processus gaussiens pour $y_{LF}$ et $\delta$. Un effet pépite peut être ajouté aux termes diagonaux pour modéliser le bruit de mesure ou numérique à chaque niveau de fidélité.

Les hyperparamètres du modèle, incluant le facteur d'échelle $\rho$ et les paramètres des noyaux de covariance pour $y_{LF}$ et $\delta$ (comme les longueurs d'échelle et les variances), sont généralement estimés en maximisant la fonction de vraisemblance des données observées. C'est une étape d'optimisation non convexe qui peut être délicate.

Un avantage majeur du cokrigeage est sa capacité à gérer des plans d'échantillonnage non-hiérarchiques (ou non-imbriqués). Contrairement à des approches plus simples, il n'est pas nécessaire d'avoir une évaluation LF pour chaque évaluation HF. Le modèle peut exploiter des points LF isolés pour informer la tendance globale et des points HF isolés pour corriger le biais, le tout unifié par la structure de covariance.

L'erreur quadratique moyenne de prédiction (MSE) est cruciale pour quantifier l'incertitude. Pour une prédiction en $x^*$, la MSE est donnée par la variance a posteriori. Sa valeur dépend non seulement de la distance de $x^*$ aux points d'échantillonnage, mais aussi de la fidélité de ces points. L'objectif est de minimiser cette MSE pour un budget de calcul donné, ce qui implique de choisir judicieusement l'emplacement et le nombre de points HF et LF.

Le cokrigeage multifidélité offre un cadre puissant pour intégrer des données de sources hétérogènes. En modélisant explicitement la corrélation entre les niveaux de fidélité, il permet d'obtenir des prédictions plus précises et des estimations d'incertitude plus fiables que ne le permettrait un modèle de krigeage simple basé uniquement sur les données de haute fidélité, surtout lorsque le budget de simulation est limité.