En mathématiques, et plus particulièrement en topologie, les notions d'ensembles "ouverts" et "fermés" sont fondamentales. Elles nous permettent de parler de proximité et de continuité de manière rigoureuse, bien au-delà de la simple droite numérique. Pour commencer, oublions les portes et les fenêtres. Un ensemble est dit ouvert s'il ne contient aucun de ses points frontières.

Imaginez un terrain. Si le terrain est "ouvert", cela signifie que, où que vous soyez à l'intérieur, vous pouvez toujours faire un petit pas dans n'importe quelle direction sans sortir du terrain. Il y a toujours un peu d'espace autour de vous. L'intervalle $]0, 1[$ sur la droite réelle est un exemple classique. Peu importe le point que vous choisissez, vous pouvez toujours trouver un intervalle encore plus petit autour de lui qui est entièrement contenu dans $]0, 1[$. Les points 0 et 1, qui forment la frontière, ne font pas partie de l'ensemble.

Formellement, un ensemble $U$ dans un espace euclidien $\mathbb{R}^n$ est ouvert si, pour chaque point $x$ dans $U$, il existe un nombre réel $\epsilon > 0$ tel que la boule ouverte de centre $x$ et de rayon $\epsilon$ est entièrement contenue dans $U$. Cette boule est l'ensemble de tous les points dont la distance à $x$ est strictement inférieure à $\epsilon$.

Un ensemble fermé, en revanche, est un ensemble qui contient toutes ses limites. Si vous avez une suite de points à l'intérieur d'un ensemble fermé qui converge vers un certain point, alors ce point limite doit aussi appartenir à l'ensemble. L'intervalle $[0, 1]$ est fermé car il inclut ses points frontières 0 et 1. Toute suite de points dans $[0, 1]$ qui converge aura une limite qui se trouve également dans $[0, 1]$.

La relation la plus élégante entre les ensembles ouverts et fermés est leur dualité. Un ensemble est fermé si et seulement si son complémentaire est ouvert. Le complémentaire d'un ensemble $A$ est tout ce qui n'est pas dans $A$.

Cette relation de complémentarité nous amène à des propriétés importantes. Puisque l'intersection d'ensembles fermés correspond à l'union de leurs complémentaires ouverts (et vice-versa), nous pouvons déduire les règles suivantes :

Pourquoi la restriction au "fini" est-elle si importante pour l'intersection des ouverts et l'union des fermés ? Considérez l'intersection d'une infinité d'intervalles ouverts : $\bigcap_{n=1}^{\infty} \left(-\frac{1}{n}, \frac{1}{n}\right)$ Cet ensemble se réduit au seul point {0}, qui est un ensemble fermé, pas ouvert.

Ces concepts nous aident à disséquer n'importe quel ensemble. Soit un ensemble $S$ :

Point d'adhérence : Un point $p$ est adhérent à $S$ si toute boule ouverte centrée en $p$ contient au moins un point de $S$. L'ensemble de tous les points d'adhérence est la fermeture (ou l'adhérence) de $S$, notée $\bar{S}$. Un ensemble est fermé s'il est égal à sa fermeture.

Point frontière : Un point $p$ est un point frontière de $S$ s'il est adhérent à la fois à $S$ et à son complémentaire. C'est-à-dire que toute boule ouverte centrée en $p$ contient des points de $S$ et des points qui ne sont pas dans $S$. La frontière de $S$, notée $\partial S$, est l'ensemble de tous ses points frontières.

Dans $\mathbb{R}^n$, l'ensemble vide $\emptyset$ et l'espace entier $\mathbb{R}^n$ sont les deux seuls ensembles qui sont à la fois ouverts et fermés. La compréhension de ces définitions est la première étape essentielle pour explorer le monde fascinant de la topologie, où ces idées sont généralisées à des espaces bien plus abstraits.