In de standaard kwantummechanica beschrijven we een deeltje, zoals een elektron, met een golffunctie, $\Psi(x)$. Deze functie vertelt ons de waarschijnlijkheid om het deeltje op een bepaalde plaats te vinden. Dit werkt prima voor één of een paar deeltjes. Maar wat als we te maken hebben met systemen waarin deeltjes kunnen ontstaan en verdwijnen, zoals bij deeltjesversnellers of in de astrofysica? De golffunctie-aanpak wordt dan onpraktisch.

Dit is waar 'tweede kwantisatie' om de hoek komt kijken. Het is geen nieuwe kwantisatie, maar een andere manier om de wereld te beschrijven. In plaats van de deeltjes zelf te volgen, focussen we op de toestanden die ze kunnen bezetten. We behandelen de deeltjes als excitaties van een onderliggend kwantumveld. Dit klinkt misschien abstract, maar het is een krachtige manier om systemen met een wisselend aantal deeltjes te modelleren.

Om met een wisselend aantal deeltjes te werken, hebben we een nieuwe wiskundige ruimte nodig. Dit is de Fock-ruimte, vernoemd naar de natuurkundige Vladimir Fock. Je kunt je de Fock-ruimte voorstellen als een gigantisch hotel. Elke kamer in het hotel vertegenwoordigt een mogelijke toestand waarin een deeltje zich kan bevinden (bijvoorbeeld een bepaalde energie en momentum).

Een specifieke toestand van het hele systeem wordt in dit hotel beschreven door te zeggen hoeveel deeltjes (gasten) er in elke kamer zijn. Dit noemen we de bezettingsgetal-representatie. Een toestand $|n_1, n_2, n_3, ...\rangle$ betekent dat er $n_1$ deeltjes in toestand 1 zijn, $n_2$ in toestand 2, enzovoort. De toestand zonder deeltjes, het 'vacuüm', wordt geschreven als $|0, 0, 0, ...\rangle$.

Hoe voegen we gasten toe aan ons hotel of hoe checken we ze uit? Hiervoor gebruiken we speciale wiskundige gereedschappen: creatie- en annihilatieoperatoren. Een annihilatieoperator, $a_i$, vernietigt (verwijdert) een deeltje uit toestand $i$. Een creatieoperator, $a_i^\dagger$, creëert (voegt toe) een deeltje in toestand $i$. Ze werken als volgt:

Met deze operatoren kunnen we elke toestand in de Fock-ruimte opbouwen vanuit het vacuüm. Deeltjes zijn dus niets meer dan het resultaat van het toepassen van creatieoperatoren op de lege toestand.

In de natuur zijn er twee soorten deeltjes: bosonen en fermionen. Bosonen, zoals fotonen, zijn sociaal en zitten graag bij elkaar in dezelfde toestand. Fermionen, zoals elektronen, zijn individualistisch en volgen het Pauli-uitsluitingsprincipe: niet meer dan één fermion kan zich in dezelfde toestand bevinden. Deze sociale regels worden afgedwongen door de wiskundige relaties tussen de operatoren.

Voor bosonen geldt de volgende commutatierelatie. Het symbool $[A, B]$ staat voor $AB - BA$.

Voor fermionen zijn de regels strenger. Ze gebruiken anticommutatierelaties. Het symbool $\{A, B\}$ staat voor $AB + BA$.

Dit formalisme van tweede kwantisatie is de taal van de moderne deeltjesfysica en de fysica van de gecondenseerde materie. Het stelt ons in staat om deeltjes te zien als trillingen in een veld, en legt de fundamentele basis voor de Kwantumveldentheorie.