Méthode des rectangles

Approximation d'une intégrale

Calculer l'aire exacte sous la courbe d'une fonction est un problème central en analyse. Lorsque la fonction est complexe, trouver une solution analytique pour son intégrale peut être difficile, voire impossible. Heureusement, nous pouvons approximer cette aire avec une bonne précision en utilisant des méthodes numériques.

L'une des approches les plus intuitives est la méthode des rectangles. L'idée est simple : au lieu de calculer l'aire de la forme complexe sous la courbe, nous la découpons en une série de rectangles plus faciles à mesurer.

Diviser pour mieux régner

Pour commencer, nous prenons l'intervalle sur lequel nous voulons intégrer la fonction, disons de $a$ à $b$ . Nous divisons cet intervalle $[a, b]$ en $n$ sous-intervalles plus petits, tous de même largeur. Cette largeur, ou pas, est notée $h$ .

h = \frac{b - a}{n}

Chaque sous-intervalle commence à un point $x_i = a + i \times h$ , où $i$ va de 0 à $n-1$ . Pour chaque sous-intervalle, nous allons maintenant construire un rectangle.

Pour la méthode des rectangles à gauche, la hauteur de chaque rectangle est donnée par la valeur de la fonction au point de départ de son sous-intervalle, soit $f(x_i)$ . L'aire de ce rectangle est donc simplement $h \times f(x_i)$ .

Pour trouver l'aire totale approximative sous la courbe, il suffit d'additionner les aires de tous ces rectangles. C'est ce qu'on appelle une Somme de Riemann à gauche.

S_n = \sum_{i=0}^{n-1} h \times f(a + i \times h) = h \times \sum_{i=0}^{n-1} f(a + i \times h)

Implémentation en Python

La formule se traduit directement en un algorithme. Nous pouvons utiliser une boucle pour calculer la somme des hauteurs, puis multiplier le résultat final par le pas $h$ . Voici à quoi cela ressemble en Python.

import math

def f(x):
  # Fonction exemple : x^2
  return x**2

def integrale_rectangles(f, a, b, n):
  """Calcule l'approximation de l'intégrale de f de a à b
  en utilisant la méthode des rectangles à gauche avec n subdivisions.
  """
  h = (b - a) / n
  somme = 0.0
  
  # Boucle pour sommer les aires des rectangles
  for i in range(n):
    x_i = a + i * h
    somme += f(x_i)
  
  aire_totale = h * somme
  return aire_totale

# Exemple d'utilisation
a = 0
b = 1
n = 100

resultat = integrale_rectangles(f, a, b, n)

# La vraie valeur de l'intégrale de x^2 de 0 à 1 est 1/3
print(f"Approximation pour n={n}: {resultat}")
print(f"Valeur exacte : {1/3}")

Précision et convergence

Intuitivement, plus nous utilisons de rectangles, plus notre approximation sera proche de la valeur réelle de l'intégrale. En d'autres termes, lorsque le nombre de subdivisions $n$ augmente, le pas $h$ diminue, et les rectangles épousent de mieux en mieux la forme de la courbe. L', qui est la différence entre la valeur calculée et la valeur exacte, tend alors vers zéro.

Choisir une valeur de $n$ est donc un compromis. Une valeur de $n$ très élevée donne une grande précision mais demande plus de temps de calcul. Pour de nombreuses applications, une valeur de $n$ modérément grande (comme 100 ou 1000) suffit pour obtenir une approximation tout à fait acceptable.

Maintenant que vous comprenez le principe, testons vos connaissances.

Quiz Questions 1/6

Quel est le principe fondamental de la méthode des rectangles pour approximer l'aire sous une courbe ?

Quiz Questions 2/6

Dans la méthode des rectangles à gauche, comment est déterminée la hauteur de chaque rectangle ?

La méthode des rectangles est la première étape dans le monde de l'intégration numérique. D'autres méthodes, comme la méthode des trapèzes ou la méthode de Simpson, offrent une meilleure précision pour le même nombre de subdivisions en utilisant des formes plus complexes pour approximer la courbe.

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