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संबंधों के प्रकार

संबंधों की दुनिया

गणित में, संबंध सिर्फ़ दो चीज़ों के बीच का एक जुड़ाव है। आप जानते हैं कि किसी समुच्चय A पर कोई भी संबंध R, कार्तीय गुणन A × A का एक उपसमुच्चय होता है। लेकिन सभी संबंध एक जैसे नहीं होते। कुछ संबंधों के अपने विशेष गुण या "व्यक्तित्व" होते हैं।

आइए संबंधों के इन व्यक्तित्वों को समझना शुरू करें। हम तीन मुख्य प्रकारों पर ध्यान केंद्रित करेंगे: स्वतुल्य, सममित और संक्रामक। ये नाम थोड़े जटिल लग सकते हैं, लेकिन इनके पीछे के विचार बहुत सीधे हैं।

सबसे सरल संबंध

मुख्य प्रकारों में जाने से पहले, आइए दो सबसे बुनियादी संबंधों को देखें: रिक्त और सार्वत्रिक। ये समझना सबसे आसान है।

रिक्त संबंध (Empty Relation): यह एक ऐसा संबंध है जिसमें कोई भी अवयव किसी भी अवयव से संबंधित नहीं होता है। संबंध का समुच्चय खाली होता है, R = ∅। उदाहरण: मान लीजिए A = {1, 2, 3} और संबंध R इस प्रकार परिभाषित है कि (a, b) ∈ R यदि a = b + 5। समुच्चय A में ऐसा कोई भी जोड़ा नहीं है जो इस शर्त को पूरा करे, इसलिए R एक रिक्त संबंध है।

सार्वत्रिक संबंध (Universal Relation): यह रिक्त संबंध का ठीक उल्टा है। इसमें, एक समुच्चय का प्रत्येक अवयव हर दूसरे अवयव (स्वयं सहित) से संबंधित होता है। यहाँ R, संपूर्ण कार्तीय गुणन A × A के बराबर होता है। उदाहरण: मान लीजिए A = {किसी स्कूल के सभी छात्र} और संबंध R इस प्रकार परिभाषित है कि (a, b) ∈ R यदि छात्र a और छात्र b की ऊँचाई का अंतर 3 मीटर से कम है। यह हमेशा सच होगा, इसलिए R एक सार्वत्रिक संबंध है।

संबंधों के तीन मुख्य प्रकार

अब हम उन तीन महत्वपूर्ण गुणों पर आते हैं जो संबंधों को वर्गीकृत करने में हमारी मदद करते हैं। एक संबंध में इनमें से एक, एक से अधिक, या कोई भी गुण नहीं हो सकता है।

स्वतुल्य

adjective

एक संबंध R, समुच्चय A पर स्वतुल्य (Reflexive) कहलाता है यदि A का प्रत्येक अवयव स्वयं से संबंधित हो।

स्वतुल्य संबंध की पहचान करना आसान है। बस यह पूछें: "क्या हर अवयव खुद से जुड़ा है?" अगर जवाब 'हाँ' है, तो संबंध स्वतुल्य है। शर्त यह है कि समुच्चय A के प्रत्येक अवयव के लिए (a, a) संबंध R में होना चाहिए। अगर एक भी अवयव छूट गया, तो यह स्वतुल्य नहीं है।

∀a∈A,(a,a)∈R\forall a \in A, (a, a) \in R

उदाहरण: मान लीजिए A = {1, 2, 3}।

  • संबंध R₁ = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 3)} स्वतुल्य है, क्योंकि इसमें (1, 1), (2, 2), और (3, 3) सभी मौजूद हैं।
  • संबंध R₂ = {(1, 1), (3, 3), (2, 1)} स्वतुल्य नहीं है, क्योंकि (2, 2) इसका हिस्सा नहीं है।

सममित

adjective

एक संबंध R, समुच्चय A पर सममित (Symmetric) कहलाता है यदि किसी भी जोड़े (a, b) के लिए जो R में है, उसका उल्टा जोड़ा (b, a) भी R में हो।

सममित संबंध एक दो-तरफा रास्ते की तरह है। अगर आप a से b तक जा सकते हैं, तो आपको b से a तक वापस आने का रास्ता भी मिलना चाहिए। यहाँ महत्वपूर्ण बात यह है कि यह शर्त केवल उन जोड़ों के लिए लागू होती है जो संबंध में मौजूद हैं।

If (a,b)∈R, then (b,a)∈R\text{If } (a, b) \in R, \text{ then } (b, a) \in R

उदाहरण: मान लीजिए A = {1, 2, 3}।

  • संबंध R₃ = {(1, 2), (2, 1), (3, 3)} सममित है। (1, 2) का उल्टा (2, 1) मौजूद है। (3, 3) का उल्टा स्वयं (3, 3) है, जो मौजूद है।
  • संबंध R₄ = {(1, 2), (2, 1), (1, 3)} सममित नहीं है, क्योंकि (1, 3) संबंध में है, लेकिन इसका उल्टा (3, 1) नहीं है।

संक्रामक

adjective

एक संबंध R, समुच्चय A पर संक्रामक (Transitive) कहलाता है यदि (a, b) ∈ R और (b, c) ∈ R होने पर, (a, c) भी R में हो।

संक्रामक संबंध एक श्रृंखला या डोमिनो प्रभाव की तरह है। यदि a, b से संबंधित है और b, c से संबंधित है, तो एक "पुल" बनकर a सीधे c से संबंधित हो जाता है। अगर यह पुल हमेशा बनता है, तो संबंध है। यह गुण समझना थोड़ा मुश्किल हो सकता है। मुख्य बात यह है कि आपको (a, b) और (b, c) जैसे जोड़ों की तलाश करनी है और फिर जांचना है कि (a, c) मौजूद है या नहीं।

If (a,b)∈R and (b,c)∈R, then (a,c)∈R\text{If } (a, b) \in R \text{ and } (b, c) \in R, \text{ then } (a, c) \in R

उदाहरण: मान लीजिए A = {1, 2, 3}।

  • संबंध R₅ = {(1, 2), (2, 3), (1, 3)} संक्रामक है। यहाँ (1, 2) और (2, 3) हैं, इसलिए हमें (1, 3) की जाँच करनी होगी, जो मौजूद है।
  • संबंध R₆ = {(1, 2), (2, 1)} संक्रामक नहीं है। यहाँ (1, 2) और (2, 1) हैं, तो (1, 1) भी होना चाहिए था, जो नहीं है। इसी तरह (2, 1) और (1, 2) के लिए (2, 2) भी होना चाहिए था।

आइए अभ्यास करें

सिद्धांत को समझने का सबसे अच्छा तरीका उदाहरणों को हल करना है। आइए एक समुच्चय पर परिभाषित संबंध का विश्लेषण करें और उसके गुणों की पहचान करें।

मान लीजिए समुच्चय A = {1, 2, 3} पर एक संबंध R = {(1, 1), (2, 2), (1, 2), (2, 1)} परिभाषित है। आइए इसके गुणों की जाँच करें।

  1. क्या यह स्वतुल्य है? हमें जाँचना है कि क्या (1, 1), (2, 2), और (3, 3) सभी R में हैं। हम देख सकते हैं कि (1, 1) और (2, 2) तो हैं, लेकिन (3, 3) R में नहीं है। इसलिए, R स्वतुल्य नहीं है।

  2. क्या यह सममित है? हमें R में मौजूद हर जोड़े का उल्टा जाँचना है।

    • (1, 1) का उल्टा (1, 1) है, जो R में है।
    • (2, 2) का उल्टा (2, 2) है, जो R में है।
    • (1, 2) का उल्टा (2, 1) है, जो R में है।
    • (2, 1) का उल्टा (1, 2) है, जो R में है। चूंकि सभी जोड़ों के उल्टे मौजूद हैं, R सममित है।

  3. क्या यह संक्रामक है? हमें (a, b) और (b, c) जैसे जोड़ों की तलाश करनी है।

    • हमारे पास (1, 2) और (2, 1) हैं। यहाँ a=1, b=2, c=1। तो हमें (a, c) यानी (1, 1) की जाँच करनी है। (1, 1) R में है।
    • हमारे पास (2, 1) और (1, 2) भी हैं। यहाँ a=2, b=1, c=2। तो हमें (a, c) यानी (2, 2) की जाँच करनी है। (2, 2) R में है। चूंकि सभी संभावित श्रृंखलाओं के लिए पुल मौजूद है, R संक्रामक है।

तो, हमारा संबंध R सममित और संक्रामक है, लेकिन स्वतुल्य नहीं है।

Quiz Questions 1/5

समुच्चय A पर कोई संबंध R क्या होता है?

Quiz Questions 2/5

मान लीजिए समुच्चय A = {1, 2, 3} है। निम्नलिखित में से कौन सा संबंध R स्वतुल्य है?

संबंधों के इन गुणों को पहचानना अभ्यास से आसान हो जाता है। प्रत्येक संबंध का विश्लेषण करते समय इन तीन प्रश्नों को पूछना याद रखें: क्या यह स्वतुल्य, सममित और संक्रामक है?