गणित में कुछ नियम आधार की तरह होते हैं, जिन पर बड़ी-बड़ी इमारतें खड़ी होती हैं। अंकगणित की आधारभूत प्रमेय ऐसा ही एक नियम है। यह बहुत सरल बात कहती है: हर भाज्य संख्या (composite number) को अभाज्य संख्याओं (prime numbers) के गुणनफल के रूप में लिखा जा सकता है, और यह तरीका अद्वितीय होता है। क्रम आगे-पीछे हो सकता है, लेकिन संख्याएँ वही रहेंगी।

इसे एक उदाहरण से समझते हैं। संख्या 140 को लें। हम इसे अभाज्य गुणनखंडों में तोड़ सकते हैं:

हम इसे घात (power) के रूप में भी लिख सकते हैं: $2^2 \times 5^1 \times 7^1$। प्रमेय के अनुसार, 140 को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में लिखने का यही एकमात्र तरीका है। आप कोई और अभाज्य संख्याएँ इस्तेमाल करके 140 नहीं बना सकते। इसी को अभाज्य गुणनखंडन कहते हैं।

इस प्रमेय का एक महत्वपूर्ण उपयोग दो संख्याओं का महत्तम समापवर्तक (HCF) और लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) निकालना है। HCF निकालने के लिए, हम संख्याओं के अभाज्य गुणनखंडों में से सबसे छोटी घात वाले उभयनिष्ठ (common) गुणनखंडों को लेते हैं। LCM के लिए, हम प्रत्येक गुणनखंड की सबसे बड़ी घात लेते हैं और उन्हें गुणा करते हैं।

हम जानते हैं कि परिमेय संख्याएँ वे होती हैं जिन्हें $\frac{p}{q}$ के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0$। जो संख्याएँ ऐसी नहीं होतीं, वे अपरिमेय (irrational) कहलाती हैं, जैसे $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$, और $\pi$।

लेकिन हम यह कैसे सिद्ध करें कि $\sqrt{2}$ वास्तव में अपरिमेय है? इसके लिए हम "विरोधाभास द्वारा उपपत्ति" (proof by contradiction) नामक एक तकनीक का उपयोग करते हैं। हम पहले मान लेते हैं कि जो हमें सिद्ध करना है, वह गलत है, और फिर दिखाते हैं कि यह धारणा एक तार्किक विरोधाभास की ओर ले जाती है।

अब हम बीजगणित की दुनिया में आते हैं और बहुपदों (Polynomials) को समझते हैं। एक बहुपद चर (variable) और गुणांकों (coefficients) वाला एक व्यंजक है। उदाहरण के लिए, $p(x) = 2x^2 - 8x + 6$ एक द्विघात बहुपद है।

एक बहुपद का "शून्यक" (zero) चर का वह मान होता है जो बहुपद को शून्य के बराबर बना देता है। यानी, अगर $k$ बहुपद $p(x)$ का शून्यक है, तो $p(k) = 0$ होगा।

शून्यकों का एक ज्यामितीय अर्थ भी होता है। जब हम किसी बहुपद का ग्राफ बनाते हैं, तो उसके शून्यक वे बिंदु होते हैं जहाँ ग्राफ x-अक्ष को काटता है। एक रैखिक बहुपद का ग्राफ x-अक्ष को एक बार काटता है, इसलिए उसका एक शून्यक होता है। एक द्विघात बहुपद का ग्राफ एक परवलय (parabola) होता है और यह x-अक्ष को दो, एक या शून्य बिंदुओं पर काट सकता है। इसलिए, इसके अधिकतम दो शून्यक हो सकते हैं।

द्विघात बहुपद $ax^2 + bx + c$ के शून्यकों (मान लें $\alpha$ और $\beta$) और उसके गुणांकों ($a$, $b$, $c$) के बीच एक सीधा संबंध होता है। यह संबंध हमें बहुपद को हल किए बिना शून्यकों के बारे में जानकारी देता है।

अगर हमें शून्यक दिए गए हों, तो हम इन संबंधों का उपयोग करके द्विघात बहुपद भी बना सकते हैं। बहुपद को $k[x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta]$ के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ $k$ कोई भी वास्तविक संख्या हो सकती है।

जिस तरह हम संख्याओं को भाग देते हैं, उसी तरह हम बहुपदों को भी भाग दे सकते हैं। बहुपदों के लिए विभाजन एल्गोरिदम कहता है कि यदि $p(x)$ और $g(x)$ कोई दो बहुपद हैं, जहाँ $g(x) \neq 0$, तो हम ऐसे बहुपद $q(x)$ (भागफल) और $r(x)$ (शेषफल) ज्ञात कर सकते हैं कि:

$p(x) = g(x) \cdot q(x) + r(x)$

यहाँ, शेषफल $r(x)$ या तो 0 होगा या $r(x)$ की घात $g(x)$ की घात से कम होगी। यह ठीक वैसा ही है जैसा कि यूक्लिड की विभाजन प्रमेयिका संख्याओं के लिए काम करती है।

इस एल्गोरिदम का उपयोग उच्च घात वाले बहुपदों के शून्यक खोजने के लिए किया जा सकता है। यदि हमें एक बहुपद का एक शून्यक पता है, तो हम उस बहुपद को $(x - \text{शून्यक})$ से विभाजित करके एक छोटी घात का बहुपद प्राप्त कर सकते हैं, जिसे हल करना आसान होता है।