Тензорний аналіз та метрика

Геометрія гравітації

У ньютонівській фізиці гравітація — це сила, що діє на відстані. Яблуко падає на землю, тому що Земля його притягує. Загальна теорія відносності пропонує радикально інший погляд: гравітація — це не сила, а прояв викривлення самого простору-часу. Масивні об'єкти, як-от Земля, не створюють поле, що притягує, а буквально згинають геометрію навколо себе. Яблуко падає, тому що воно рухається найпрямішим можливим шляхом (геодезичною лінією) у цьому викривленому просторі-часі.

Щоб описати цю викривлену геометрію, нам потрібен потужніший математичний інструмент, ніж звичайна евклідова геометрія, до якої ми звикли. На пласкій поверхні найкоротша відстань між двома точками — пряма. Але на викривленій, як-от поверхня глобуса, найкоротший шлях — це дуга великого кола. Тензорний аналіз надає нам мову для роботи з такими викривленими многовидами.

Метричний тензор: лінійка простору-часу

Центральним елементом цієї нової геометрії є метричний тензор, що позначається як $g_{\mu\nu}$ . Уявіть його як універсальну лінійку, яка в кожній точці простору-часу показує, як вимірювати відстані та часові проміжки, враховуючи місцеве викривлення. Він узагальнює теорему Піфагора для викривлених просторів.

Метричний тензор дозволяє нам обчислити нескінченно малий просторово-часовий інтервал $ds^2$ між двома сусідніми подіями. Цей інтервал є фундаментальною величиною, оскільки він інваріантний — усі спостерігачі, незалежно від їхнього руху, погодяться щодо його значення.

ds^2 = \sum_{\mu=0}^{3} \sum_{\nu=0}^{3} g_{\mu\nu} dx^\mu dx^\nu

У плоскому просторі Мінковського спеціальної теорії відносності метрика дуже проста. У декартових координатах вона виглядає так:

\eta_{\mu\nu} = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

Два погляди на один вектор

У викривленому просторі поняття вектора стає дещо складнішим. Існують два способи представити вектор: за допомогою контраваріантних та коваріантних компонентів. Вони є двома різними, але еквівалентними описами одного й того ж геометричного об'єкта.

Контраваріантні компоненти ( $V^\mu$ ) — це те, що ми зазвичай уявляємо як вектор. Вони описують, як змінюються координати вздовж напрямку вектора. Їхні індекси пишуться зверху.

Коваріантні компоненти ( $V_\mu$ ) поводяться інакше. Їх можна уявити як набір поверхонь (або ліній у 2D), щільність яких представляє величину вектора. Вони тісно пов'язані з градієнтами. Їхні індекси пишуться знизу.

У плоскому декартовому просторі різниці між ними немає. Але у викривленому просторі або при використанні криволінійних координат ці два набори компонентів будуть різними. Метричний тензор $g_{\mu\nu}$ є саме тим інструментом, який дозволяє переходити між цими двома представленнями.

Операції перетворення одного типу компонентів в інший називаються підніманням та опусканням індексів. Вони виконуються за допомогою метричного тензора $g_{\mu\nu}$ та оберненого до нього $g^{\mu\nu}$ .

V_\mu = \sum_\nu g_{\mu\nu} V^\nu \quad (опускання)\\ V^\mu = \sum_\nu g^{\mu\nu} V_\nu \quad (піднімання)

Символи Крістоффеля

Якщо метричний тензор $g_{\mu\nu}$ описує геометрію простору-часу, то як описати її зміну від точки до точки? Для цього нам потрібні похідні. Однак у викривленому просторі звичайна похідна не поводиться як тензор. Щоб розв'язати цю проблему, вводиться поняття коваріантної похідної, яка включає в себе поправочні члени — символи Крістоффеля.

Символи Крістоффеля, що позначаються як $\Gamma^\lambda_{\mu\nu}$ , не є компонентами тензора, але вони відіграють вирішальну роль. Вони описують, як змінюються базисні вектори при переміщенні з однієї точки простору в іншу. Можна думати про них як про математичний опис "гравітаційної сили" в даній системі координат. У плоскому просторі всі символи Крістоффеля дорівнюють нулю.

\Gamma^\lambda_{\mu\nu} = \frac{1}{2} g^{\lambda\sigma} \left( \frac{\partial g_{\sigma\mu}}{\partial x^\nu} + \frac{\partial g_{\sigma\nu}}{\partial x^\mu} - \frac{\partial g_{\mu\nu}}{\partial x^\sigma} \right)

Символи Крістоффеля є ключовим інгредієнтом для побудови тензора кривини Рімана, який вже є справжнім тензором і повністю описує викривлення простору-часу. Але це тема для наступного обговорення.

Опанувавши метричний тензор, коваріантні та контраваріантні компоненти та символи Крістоффеля, ми заклали математичний фундамент. Тепер ми готові перейти до фізики — до того, як матерія та енергія диктують геометрію простору-часу, і як ця геометрія, своєю чергою, диктує рух матерії.

Quiz Questions 1/5

Як загальна теорія відносності принципово відрізняється від ньютонівської фізики у поясненні гравітації?

Quiz Questions 2/5

Яка головна функція метричного тензора $g_{\mu\nu}$ у викривленому просторі-часі?

Математична краса та фізика загальної теорії відносності