لقد تعاملت مع المتجهات كسهام لها حجم واتجاه. لكن يمكننا التفكير فيها بشكل أوسع. تخيل مجموعة من الكائنات، ليس بالضرورة أسهمًا، التي يمكنك جمعها معًا وتغيير حجمها (ضربها في عدد). إذا اتبعت هذه العمليات مجموعة من القواعد المنطقية، فإن هذه المجموعة تسمى الفضاء الشعاعي (Vector Space). هذه الفكرة هي حجر الزاوية في الجبر الخطي.

الآن، ماذا يحدث عندما نريد الانتقال من فضاء شعاعي إلى آخر؟ هنا يأتي دور التحويلات الخطية. التحويل الخطي هو دالة تأخذ متجهًا من فضاء وتعطيك متجهًا جديدًا في فضاء آخر (أو نفس الفضاء)، مع الحفاظ على البنية الأساسية. بمعنى آخر، إذا قمت بجمع متجهين ثم حولتهما، ستحصل على نفس النتيجة كما لو حولت كل متجه على حدة ثم جمعتهما. ينطبق نفس المبدأ على تغيير الحجم.