在量子力学的基础学习中，我们习惯用态矢量 $|\psi\rangle$ 来描述一个孤立的量子系统。这种状态被称为纯态。然而，在现实世界中，任何量子系统都不可避免地与周围环境发生相互作用，或者我们可能对系统的了解并不完全。在这种情况下，系统就不再处于一个单一的纯态，而是多种可能状态的统计混合，我们称之为混合态。

为了统一描述纯态和混合态，我们需要一个更强大的数学工具：密度算符（或密度矩阵），通常用符号 $\rho$ 表示。

对于一个处于纯态 $|\psi\rangle$ 的系统，其密度算符定义为：

对于一个混合态，系统可能以概率 $p_i$ 处于纯态 $|\psi_i\rangle$。这时，密度算符是这些纯态密度算符的加权平均：

密度算符具有一些重要的普适性质：

1. 归一性: 密度矩阵的迹（主对角线元素之和）恒等于1，即 $Tr(\rho) = 1$。这表示系统处于所有可能状态的总概率为1。
2. 厄米性: 密度矩阵是厄米矩阵，即 $\rho = \rho^\dagger$。这意味着它的本征值是实数，对应着可观测的概率。
3. 半正定性: 密度矩阵的本征值非负。

对于由态矢量描述的封闭系统，其演化遵循薛定谔方程。而对于由密度矩阵描述的系统，其动力学由冯·诺依曼方程给出：

这个方程是薛定谔方程在密度矩阵形式下的推广，它统一描述了封闭量子系统的演化。当系统与环境相互作用（即开放系统）时，方程的形式会变得更加复杂，但冯·诺依曼方程是理解所有量子动力学的基础。

在量子计算等领域，我们常常关心一个大系统中的一小部分，比如一个量子比特，而这个比特正与另一个比特或环境纠缠在一起。即使整个复合系统处于一个纯态，我们感兴趣的子系统也可能处于混合态。

为了描述子系统的状态，我们需要一种方法来“忽略”或“平均掉”我们不关心的那部分。这个数学工具就是部分迹（Partial Trace），记作 $Tr_B$。假设一个复合系统由子系统A和B构成，其总密度矩阵为 $\rho_{AB}$。那么子系统A的约化密度矩阵 $\rho_A$ 就是对子系统B进行部分迹运算的结果：

部分迹运算是理解量子退相干的关键。一个量子比特与环境的纠缠，会导致该量子比特的纯态信息“泄露”到更大的系统中。当我们通过部分迹只观察这个量子比特时，其状态就会从纯态演变为混合态，失去了宝贵的相干性。

在实验中，我们制备出的量子态 $\rho$ 总会与理想的目标态 $\sigma$ 有一定偏差。如何量化这种偏差？保真度（Fidelity）就是衡量两个量子态相似程度的指标。

对于两个纯态 $|\psi\rangle$ 和 $|\phi\rangle$，保真度的定义很简单，就是它们内积的模的平方：

当至少一个态是混合态时，例如要比较密度矩阵 $\rho$ 和 $\sigma$，保真度的计算公式更为复杂：

在超导量子比特的实验中，研究人员在进行计算前，需要将量子比特初始化到一个高保真度的基态（如 $|0\rangle$）。通过测量制备出的态与理想 $|0\rangle$ 态的密度矩阵（$\rho_{|0\rangle} = |0\rangle\langle0|$）的保真度，可以评估状态初始化的质量和系统中存在的噪声水平。高保真度是实现可靠量子计算的先决条件。