В линейной алгебре мы привыкли работать с векторами в конечномерных пространствах, таких как $\mathbb{R}^n$. Функциональный анализ расширяет эти идеи на бесконечномерные пространства. Вместо векторов с конечным числом компонент мы рассматриваем объекты, такие как функции или последовательности, которые можно рассматривать как векторы с бесконечным числом «компонент».

Чтобы измерять «длину» этих векторов, мы вводим понятие нормы. Нормированное пространство — это векторное пространство, оснащенное нормой, которая является обобщением длины вектора. Однако не все нормированные пространства одинаково удобны. Ключевым свойством, которое мы ищем, является полнота.

Давайте рассмотрим два важных класса Банаховых пространств — пространства $L_p$ и пространства $l_p$. Пространства $l_p$ состоят из бесконечных последовательностей $x = (x_1, x_2, ...)$, для которых сумма $p$-ых степеней их элементов сходится. Норма в таком пространстве определяется как:

Пространства $L_p$ — это их «непрерывные» аналоги. Они состоят из измеримых функций $f(x)$ на некотором множестве (например, отрезке $[a, b]$), для которых интеграл от $p$-ой степени модуля функции конечен. Норма здесь определяется через интеграл:

Еще один важный пример — пространство $C[a, b]$, состоящее из всех непрерывных функций на отрезке $[a, b]$. В нем используется так называемая равномерная норма или sup-норма, которая измеряет максимальное отклонение функции от нуля.

Важнейший факт заключается в том, что все эти пространства — $l_p$, $L_p$ (для $p \ge 1$) и $C[a, b]$ — являются полными, а значит, Банаховыми. Полнота $L_p$ и $l_p$ доказывается с помощью теоремы Рисса-Фишера, которая устанавливает фундаментальную связь между этими пространствами и сходимостью в них.

В конечномерных пространствах замкнутое и ограниченное множество всегда компактно (теорема Гейне-Бореля). В бесконечномерных пространствах это, как правило, неверно. Например, замкнутый единичный шар в бесконечномерном Банаховом пространстве никогда не является компактом. Это одно из фундаментальных отличий бесконечномерного анализа.

Поэтому нам нужны более сильные критерии компактности. Для пространств непрерывных функций, таких как $C[a, b]$, таким критерием является теорема Арцела-Асколи. Она утверждает, что множество функций компактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто, равномерно ограничено и равностепенно непрерывно.

Наконец, в бесконечномерных пространствах важно различать сильную и слабую сходимость. Последовательность $x_n$ сходится к $x$ сильно, если норма их разности стремится к нулю: $\|x_n - x\| \to 0$. Это привычная нам сходимость по норме.

Сходимость называется слабой, если для любого непрерывного линейного функционала $f$ последовательность числовых значений $f(x_n)$ сходится к $f(x)$. Из сильной сходимости всегда следует слабая, но обратное неверно. Понимание этого различия имеет решающее значение при изучении спектральной теории операторов и вариационного исчисления.