工业机械臂通常被牢牢固定在地面上，它们的运动学模型有一个固定的基座。但人形机器人不同，它们需要在世界中自由移动。为了在数学上描述这种不受束缚的运动，我们引入了“浮动基座”（Floating Base）的概念。

想象一下，机器人的躯干（通常是骨盆或胸腔）与世界坐标系之间存在一个虚拟的、看不见的连接。这个连接不是固定的，而是拥有六个自由度（6-DoF）：三个用于平移（沿x、y、z轴移动），三个用于旋转（俯仰、滚转和偏航）。这个虚拟的6-DoF关节就是浮动基座，它构成了机器人整体运动学的根基。

因此，人形机器人的完整状态不仅包括所有关节的角度，还必须包含这个浮动基座的6个变量。在进行任何运动学计算（例如，计算手掌相对于地面的位置）时，我们必须首先从世界坐标系通过这个浮动基座变换到机器人的躯干，然后再沿着肢体链计算到末端。这个模型是所有动态行为（如行走、跑步和维持平衡）分析的基础。

人体骨骼是一个完美的工程学杰作，其结构可以被抽象为一个树形拓扑（Tree Topology）。躯干是树根，头部、手臂和腿部则是从中延伸出的分支。在机器人学中，这被称为开链运动学结构。我们通过模仿这种结构来设计人形机器人，确保运动的协调性和灵活性。

一个关键概念是自由度（DoF），它指代系统可以独立运动的变量数量。人体有超过200个自由度，但在工程上我们无法也无需完全复制。相反，我们进行简化，同时保留“冗余自由度”（Redundant DoF）。

冗余意味着完成特定任务所需的自由度数量超过了最低要求。例如，将指尖定位到空间某一点只需要3个自由度，但人的手臂有7个自由度（肩3，肘1，腕3）。这种冗余带来了巨大的好处：它允许我们在保持手部位置不变的同时，改变手臂的姿态以避开障碍物，或者调整身体质心来维持平衡。对于人形机器人来说，冗余自由度是实现灵活、类人运动的关键。

当机器人奔跑或跳跃时，其结构会承受巨大的动态负载，远超静止站立时的负荷。这就引出了设计中的一个核心矛盾：轻量化与结构强度。更轻的肢体意味着驱动电机需要输出的力矩更小，能耗更低，运动也更敏捷。但过分追求轻量化可能会牺牲结构的刚性。

刚性不足的结构在快速运动时会产生振动或变形，这会严重影响控制精度。想象一下用一根柔软的棍子去戳一个按钮，这会非常困难。材料的弹性模量（Young's Modulus）是衡量其抵抗变形能力的关键指标。高弹性模量的材料（如碳纤维、钛合金）能在保持较轻重量的同时提供优异的刚性，但成本也更高。

因此，设计师必须进行权衡。在远离躯干的肢体末端（如小臂、小腿），轻量化是首要考虑，因为这些部位的惯性对整体能耗和速度影响最大。而在靠近身体核心、承受主要负载的部位（如大腿、骨盆），则必须优先保证结构强度和刚性。现代机器人设计常常采用混合材料策略，在不同部位使用最合适的材料。

为了对机器人进行精确控制，我们需要建立其数学模型。这个过程始于对人体骨骼结构的工程抽象。我们将复杂的骨骼简化为一系列由关节连接的刚性连杆（Rigid Links）。每个连杆都具有特定的物理属性，如质量、质心位置和转动惯量。

整个机器人的状态可以用一个广义坐标向量 $q$ 来表示。对于一个拥有 $n$ 个关节的人形机器人，这个向量包含了浮动基座的6个坐标和 $n$ 个关节的角度。

有了运动学模型，我们就可以计算任何一点的位置和速度。但要实现动态控制（例如，计算需要多大的力矩来驱动关节），我们还需要动力学模型。动力学方程描述了关节力矩 $\tau$ 与机器人加速度 $\ddot{q}$ 之间的关系。

这个方程是现代机器人控制算法的核心。通过精确计算 $M(q)$、$C(q, \dot{q})$ 和 $G(q)$，控制器可以实时确定需要施加多大的力矩 $\tau$ 才能让机器人产生期望的加速度 $\ddot{q}$，从而实现行走、奔跑和与环境交互等复杂动作。