આપણે ગણતરી માટે જે સંખ્યાઓનો ઉપયોગ કરીએ છીએ તે પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ છે: 1, 2, 3, અને અનંત સુધી. આ આપણી ગણતરીની કુદરતી રીત છે.

હવે, જો આપણે આ સમૂહમાં માત્ર એક જ સંખ્યા ઉમેરીએ - શૂન્ય (0) - તો આપણને પૂર્ણ સંખ્યાઓનો સમૂહ મળે છે: 0, 1, 2, 3, અને આગળ. તો, દરેક પ્રાકૃતિક સંખ્યા એક પૂર્ણ સંખ્યા છે, પરંતુ બધી પૂર્ણ સંખ્યાઓ પ્રાકૃતિક નથી, કારણ કે શૂન્ય પ્રાકૃતિક નથી.

દરેક સંખ્યાને તેના ગુણધર્મોના આધારે બે મુખ્ય પ્રકારોમાં વહેંચી શકાય છે: અવિભાજ્ય અને વિભાજ્ય.

અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ: આ એવી સંખ્યાઓ છે જેમને ફક્ત બે જ અવયવ હોય છે: 1 અને તે સંખ્યા પોતે. ઉદાહરણ તરીકે, 7 ને ફક્ત 1 અને 7 વડે જ ભાગી શકાય છે. અન્ય ઉદાહરણો છે 2, 3, 5, 11, વગેરે.

વિભાજ્ય સંખ્યાઓ: આ એવી સંખ્યાઓ છે જેમના બેથી વધુ અવયવ હોય છે. જેમ કે, 12 ના અવયવો 1, 2, 3, 4, 6 અને 12 છે.

કોઈપણ વિભાજ્ય સંખ્યાને તેના અવિભાજ્ય અવયવોના ગુણાકાર તરીકે લખી શકાય છે. આ પ્રક્રિયાને અવિભાજ્ય અવયવીકરણ કહેવાય છે. ચાલો 36 નું ઉદાહરણ લઈએ.

આમ, 36 નું અવિભાજ્ય અવયવીકરણ $2 \times 2 \times 3 \times 3$ અથવા $2^2 \times 3^2$ છે.

હવે જ્યારે આપણે અવિભાજ્ય અવયવીકરણ સમજી ગયા છીએ, ત્યારે લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી (લ.સા.અ.) અને ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ (ગુ.સા.અ.) શોધવાનું સરળ બની જાય છે.

ગુ.સા.અ. (HCF): બે કે તેથી વધુ સંખ્યાઓનો સૌથી મોટો સામાન્ય અવયવ. લ.સા.અ. (LCM): બે કે તેથી વધુ સંખ્યાઓ વડે ભાગી શકાય તેવી સૌથી નાની સંખ્યા.

ચાલો 12 અને 18 નું ઉદાહરણ લઈએ.

1. અવિભાજ્ય અવયવીકરણ: $12 = 2 \times 2 \times 3 = 2^2 \times 3^1$ $18 = 2 \times 3 \times 3 = 2^1 \times 3^2$

2. ગુ.સા.અ. શોધવા: બંનેમાં સામાન્ય હોય તેવા અવિભાજ્ય અવયવોની સૌથી નાની ઘાત લો અને તેમનો ગુણાકાર કરો. બંનેમાં 2 અને 3 સામાન્ય છે. 2ની સૌથી નાની ઘાત $2^1$ છે અને 3ની સૌથી નાની ઘાત $3^1$ છે. ગુ.સા.અ. = $2^1 \times 3^1 = 6$.

3. લ.સા.અ. શોધવા: બધા અવિભાજ્ય અવયવોની સૌથી મોટી ઘાત લો અને તેમનો ગુણાકાર કરો. અહીં અવયવો 2 અને 3 છે. 2ની સૌથી મોટી ઘાત $2^2$ છે અને 3ની સૌથી મોટી ઘાત $3^2$ છે. લ.સા.અ. = $2^2 \times 3^2 = 4 \times 9 = 36$.

ચાલો એક વ્યવહારુ ઉદાહરણ જોઈએ. રસોડામાં, તમારી પાસે બે અલગ-અલગ પ્રકારના બિસ્કિટના પેકેટ છે. એકમાં 24 બિસ્કિટ છે અને બીજામાં 30 છે. જો તમારે બંને પ્રકારના બિસ્કિટને કોઈ પણ બિસ્કિટ વધે નહીં તે રીતે સરખા ભાગે નાના-નાના પેકેટમાં વહેંચવા હોય, તો એક પેકેટમાં વધુમાં વધુ કેટલા બિસ્કિટ રાખી શકાય?

અહીં આપણે 24 અને 30 નો ગુ.સા.અ. શોધવાની જરૂર છે. $24 = 2^3 \times 3$ $30 = 2 \times 3 \times 5$

ગુ.સા.અ. માટે સામાન્ય અવયવોની નાની ઘાત લઈએ: $2^1 \times 3^1 = 6$. તેથી, તમે દરેક નાના પેકેટમાં 6 બિસ્કિટ રાખી શકો છો.

મોટી સંખ્યાઓ સાથે કામ કરતી વખતે, તે જાણવું ઉપયોગી છે કે શું કોઈ સંખ્યાને બીજી સંખ્યા વડે નિઃશેષ ભાગી શકાય છે. આ માટે વિભાજ્યતાની ચાવીઓ ખૂબ જ ઉપયોગી છે.

ઉદાહરણ તરીકે, સંખ્યા 585 લો.

• તેનો છેલ્લો અંક 5 છે, તેથી તે 5 વડે વિભાજ્ય છે.
• તેના અંકોનો સરવાળો $5 + 8 + 5 = 18$ છે. 18 એ 3 અને 9 બંને વડે વિભાજ્ય છે, તેથી 585 પણ 3 અને 9 વડે વિભાજ્ય છે.
• તેનો છેલ્લો અંક 5 છે, 0, 2, 4, 6 કે 8 નથી, તેથી તે 2 વડે વિભાજ્ય નથી.

આપણે સંખ્યાઓની દુનિયામાં એક રસપ્રદ સફર કરી. આપણે પ્રાકૃતિક અને પૂર્ણ સંખ્યાઓ વચ્ચેનો તફાવત સમજ્યા, અવિભાજ્ય અવયવીકરણની શક્તિ જોઈ અને લ.સા.અ. અને ગુ.સા.અ. જેવા સાધનોનો ઉપયોગ કેવી રીતે કરવો તે શીખ્યા. આ જ્ઞાન ગણિતના વધુ જટિલ ખ્યાલો માટે મજબૂત પાયો પૂરો પાડે છે.