आप जानते हैं कि परिमेय संख्याएँ वे संख्याएँ होती हैं जिन्हें $p/q$ के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0$ है। लेकिन जब हम इन भिन्नों को दशमलव में बदलते हैं तो क्या होता है? हमें दो मुख्य प्रकार के परिणाम मिलते हैं।

सांत दशमलव (Terminating Decimals)

ये वे दशमलव हैं जो कुछ अंकों के बाद समाप्त हो जाते हैं। उदाहरण के लिए: $1/4 = 0.25$ $3/8 = 0.375$ $7/10 = 0.7$

एक सरल नियम यह है: यदि किसी परिमेय संख्या $p/q$ (अपने सरलतम रूप में) के हर $q$ के अभाज्य गुणनखंड केवल 2 या 5 (या दोनों) हैं, तो उसका दशमलव प्रसार सांत होगा। ऐसा इसलिए है क्योंकि हर को 10 की घात में बदला जा सकता है।

असांत आवर्ती दशमलव (Non-terminating Repeating Decimals)

जब हर $q$ के अभाज्य गुणनखंड में 2 या 5 के अलावा कोई और अभाज्य संख्या होती है, तो दशमलव प्रसार कभी समाप्त नहीं होता है। इसके बजाय, अंकों का एक समूह खुद को बार-बार दोहराता है।

उदाहरण के लिए: $1/3 = 0.333...$ (यहाँ '3' दोहराता है) $2/7 = 0.285714285714...$ (यहाँ '285714' का ब्लॉक दोहराता है)

हम दोहराए जाने वाले अंकों पर एक बार (bar) लगाकर इसे संक्षिप्त रूप में लिखते हैं, जैसे $0.\overline{3}$ या $0.\overline{285714}$। यह दोहराव भाग प्रक्रिया की प्रकृति के कारण होता है। चूँकि शेषफल हमेशा भाजक से छोटा होता है, अंततः शेषफल खुद को दोहराएगा, जिससे भागफल में अंकों का एक आवर्ती पैटर्न बन जाएगा।

यह जानना कि परिमेय संख्याओं से आवर्ती दशमलव कैसे बनते हैं, उपयोगी है, लेकिन क्या हम इसका उल्टा कर सकते हैं? क्या हम $0.\overline{3}$ जैसी संख्या को वापस भिन्न में बदल सकते हैं? हाँ, और यह एक सीधी बीजगणितीय प्रक्रिया है।

मान लीजिए हमें $x = 0.\overline{7}$ को $p/q$ रूप में बदलना है।

1. समीकरण सेट करें: $x = 0.777...$

2. दशमलव को स्थानांतरित करें: चूंकि एक अंक दोहरा रहा है, हम समीकरण को 10 से गुणा करते हैं। $10x = 7.777...$

3. घटाएं: अब, हम दूसरे समीकरण से पहला समीकरण घटाते हैं। $10x - x = (7.777...) - (0.777...)$ $9x = 7$

4. हल करें: $x = 7/9$

यदि दो अंक दोहराते हैं, जैसे $0.\overline{23}$, तो आप 100 से गुणा करेंगे। यदि तीन अंक दोहराते हैं, तो आप 1000 से गुणा करेंगे, और इसी तरह।

अब हम उन संख्याओं पर आते हैं जो इस साफ-सुथरे पैटर्न में फिट नहीं बैठती हैं। अपरिमेय संख्याएँ वे संख्याएँ हैं जिनका दशमलव प्रसार न तो सांत होता है और न ही आवर्ती होता है। वे हमेशा के लिए चलते रहते हैं, बिना किसी दोहराव वाले पैटर्न के।

सबसे प्रसिद्ध उदाहरण $\pi$ (लगभग 3.14159...) और $\sqrt{2}$ (लगभग 1.41421...) हैं। आप उन्हें कभी भी $p/q$ भिन्न के रूप में नहीं लिख सकते।

लेकिन हम यह कैसे साबित कर सकते हैं? हम कैसे निश्चित हो सकते हैं कि $\sqrt{2}$ को भिन्न के रूप में नहीं लिखा जा सकता? हम एक शक्तिशाली तर्क का उपयोग करते हैं जिसे विरोधाभास द्वारा उपपत्ति (proof by contradiction) कहा जाता है।

आइए $\sqrt{2}$ की अपरिमेयता को सिद्ध करें।

1. विपरीत मानें: मान लें कि $\sqrt{2}$ परिमेय है। इसका मतलब है कि हम इसे $p/q$ के रूप में लिख सकते हैं, जहाँ $p$ और $q$ का 1 के अलावा कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है (यह एक सरलतम भिन्न है)। $\sqrt{2} = p/q$

2. समीकरण को व्यवस्थित करें: दोनों पक्षों का वर्ग करें। $2 = p^2 / q^2$ $2q^2 = p^2$

3. तर्क करें: इस समीकरण से पता चलता है कि $p^2$ एक सम संख्या है (क्योंकि यह 2 का गुणज है)। यदि $p^2$ सम है, तो $p$ को भी सम होना चाहिए। (एक विषम संख्या का वर्ग हमेशा विषम होता है)।

4. प्रतिस्थापित करें: चूँकि $p$ सम है, हम इसे $p = 2k$ के रूप में लिख सकते हैं, जहाँ $k$ एक पूर्णांक है। अब इसे समीकरण में वापस रखें। $2q^2 = (2k)^2$ $2q^2 = 4k^2$ $q^2 = 2k^2$

5. विरोधाभास खोजें: यह नया समीकरण दिखाता है कि $q^2$ भी सम है, जिसका अर्थ है कि $q$ भी सम होना चाहिए।

यहाँ विरोधाभास है! हमने यह निष्कर्ष निकाला है कि $p$ और $q$ दोनों सम हैं। इसका मतलब है कि उनका एक उभयनिष्ठ गुणनखंड 2 है। लेकिन हमने यह मानकर शुरू किया था कि उनका 1 के अलावा कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है। हम एक ही समय में दोनों बातें सच नहीं मान सकते।

हमारी मूल धारणा (कि $\sqrt{2}$ परिमेय है) गलत होनी चाहिए। इसलिए, $\sqrt{2}$ अपरिमेय है। इसी तरह का तर्क $\sqrt{3}$, $\sqrt{5}$, आदि को साबित करने के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है।

जब हम सभी परिमेय संख्याओं (सांत और आवर्ती दशमलव वाली) और सभी अपरिमेय संख्याओं (असांत, अनावर्ती दशमलव वाली) को एक साथ मिलाते हैं, तो हमें वास्तविक संख्याओं का पूरा सेट मिलता है। ये वे सभी संख्याएँ हैं जिन्हें एक संख्या रेखा पर दर्शाया जा सकता है।

वास्तविक संख्या रेखा पर कोई खाली जगह नहीं है; हर एक बिंदु एक अद्वितीय वास्तविक संख्या से मेल खाता है, चाहे वह परिमेय हो या अपरिमेय।

अब जब आपने इन अवधारणाओं को समझ लिया है, तो कुछ प्रश्नों के साथ अपने ज्ञान का परीक्षण करें।

परिमेय और अपरिमेय संख्याओं के बीच के अंतर को समझना गणित में कई उन्नत विषयों के लिए मौलिक है। यह संख्याओं की दुनिया में एक सुंदर क्रम और एक आकर्षक रहस्य दोनों को प्रकट करता है।