টেনসর বিশ্লেষণ ও অ্যানিসোট্রপি

ইলেক্ট্রো-অপটিক প্রভাবের টেনসর বিশ্লেষণ

কোনো ক্রিস্টালের মধ্য দিয়ে আলো যাওয়ার সময় তার প্রোপাগেশন ক্যারেক্টারিস্টিকস একটি এক্সটার্নাল ইলেকট্রিক ফিল্ড দ্বারা পরিবর্তন করা সম্ভব। এই ঘটনাকে ইলেক্ট্রো-অপটিক (EO) প্রভাব বলা হয়। এই প্রভাব মূলত ক্রিস্টালের পারমিটিভিটি টেনসরের পরিবর্তনের কারণে ঘটে। অ্যানিসোট্রপিক মিডিয়ামে, পারমিটিভিটি একটি স্কেলার নয়, বরং একটি দ্বিতীয় র‍্যাঙ্কের টেনসর, $ε_{ij}$ । এই টেনসরটি আলোর পোলারাইজেশন এবং ইলেকট্রিক ফিল্ডের মধ্যে সম্পর্ক স্থাপন করে: $D_i = ε_0 \sum_j ε_{ij} E_j$ ।

এই পারমিটিভিটি টেনসরকে ইনডেক্স এলিপসয়েড (Index Ellipsoid) বা ইন্ডিকাট্রিক্স (Indicatrix) দ্বারা জ্যামিতিকভাবে উপস্থাপন করা হয়। কোনো এক্সটার্নাল ফিল্ড না থাকলে, প্রিন্সিপাল অ্যাক্সিস সিস্টেমে এর সমীকরণটি হলো:

\frac{x^2}{n_x^2} + \frac{y^2}{n_y^2} + \frac{z^2}{n_z^2} = 1

যখন একটি এক্সটার্নাল ইলেকট্রিক ফিল্ড $E$ প্রয়োগ করা হয়, তখন রিফ্র্যাক্টিভ ইনডেক্স পরিবর্তিত হয়, যার ফলে ইনডেক্স এলিপসয়েডের আকার ও ওরিয়েন্টেশন পরিবর্তিত হয়। এই পরিবর্তনটি নতুন impermeability টেনসর $η_{ij}$ দ্বারা বর্ণনা করা হয়, যা $ε_{ij}$ -এর ইনভার্স। ফিল্ডের উপস্থিতিতে impermeability টেনসরের পরিবর্তন $Δη_{ij}$ দুটি প্রধান ইফেক্টের মাধ্যমে ঘটে: Pockels এবং Kerr ইফেক্ট।

Pockels এবং Kerr ইফেক্ট

Pockels ইফেক্ট বা লিনিয়ার ইলেক্ট্রো-অপটিক ইফেক্ট, প্রযুক্ত ইলেকট্রিক ফিল্ডের সাথে লিনিয়ারভাবে রিফ্র্যাক্টিভ ইনডেক্সের পরিবর্তন ঘটায়। এটি শুধুমাত্র সেই সব ক্রিস্টালে দেখা যায় যাদের ইনভার্সন সিমেট্রি নেই, অর্থাৎ নন-সেন্ট্রোসিমেট্রিক ক্রিস্টাল। গাণিতিকভাবে, impermeability টেনসরের পরিবর্তনকে লেখা যায়:

\Delta \eta_{ij} = \Delta \left( \frac{1}{n^2} \right)_{ij} = \sum_{k} r_{ijk} E_k

অন্যদিকে, Kerr ইফেক্ট বা কোয়াড্রেটিক ইলেক্ট্রো-অপটিক ইফেক্ট, প্রযুক্ত ইলেকট্রিক ফিল্ডের বর্গের সমানুপাতিক। এটি যেকোনো মিডিয়ামে (সেন্ট্রোসিমেট্রিক বা নন-সেন্ট্রোসিমেট্রিক) ঘটতে পারে। এর গাণিতিক রূপ:

\Delta \eta_{ij} = \sum_{k,l} s_{ijkl} E_k E_l

ইনডেক্স এলিপসয়েডের বিকৃতি

ইলেকট্রিক ফিল্ড প্রয়োগের পর পরিবর্তিত ইনডেক্স এলিপসয়েড-এর সাধারণ সমীকরণটি হলো:

\sum_{i,j} (\eta_{ij}^0 + \Delta \eta_{ij}) x_i x_j = 1

এখানে আমরা কন্ট্র্যাক্টেড নোটেশন (Voigt notation) ব্যবহার করেছি, যেখানে $r_{ijk}$ টেনসরকে একটি $6 \times 3$ ম্যাট্রিক্স $r_{ij}$ দ্বারা প্রকাশ করা হয়। এই নতুন সমীকরণটি একটি এলিপসয়েডকে বর্ণনা করে যা মূল এলিপসয়েডের তুলনায় রোটেটেড এবং ডিফর্মড। নতুন প্রিন্সিপাল অ্যাক্সিস এবং সংশ্লিষ্ট রিফ্র্যাক্টিভ ইনডেক্সগুলো এই সমীকরণের আইগেনভ্যালু সমস্যা সমাধান করে বের করা হয়।

LiNbO₃ এর জন্য EO কোফিসিয়েন্ট ম্যাট্রিক্স

লিথিয়াম নায়োবেট (LiNbO₃) একটি বহুল ব্যবহৃত নন-সেন্ট্রোসিমেট্রিক ক্রিস্টাল, যা 3m সিমেট্রি গ্রুপের অন্তর্গত। এই সিমেট্রির কারণে এর $r_{ij}$ ম্যাট্রিক্সের অনেকগুলো কম্পোনেন্ট শূন্য হয়ে যায় এবং কিছু কম্পোনেন্ট একে অপরের সমান হয়। এর ফলে ম্যাট্রিক্সটি অনেক সরল হয়ে যায়। LiNbO₃ এর জন্য Pockels টেনসর ( $r_{ij}$ )-এর ম্যাট্রিক্স ফর্মটি হলো:

r_{ij} = \begin{pmatrix} 0 & -r_{22} & r_{13} \\ 0 & r_{22} & r_{13} \\ 0 & 0 & r_{33} \\ 0 & r_{51} & 0 \\ r_{51} & 0 & 0 \\ -r_{22} & 0 & 0 \end{pmatrix}

যদি একটি ইলেকট্রিক ফিল্ড $E = (0, 0, E_z)$ শুধুমাত্র z-অক্ষ বরাবর প্রয়োগ করা হয়, তাহলে impermeability টেনসরের পরিবর্তন $Δη_i = \sum_j r_{ij} E_j$ হবে: $Δη_1 = r_{13} E_z$ $Δη_2 = r_{13} E_z$ $Δη_3 = r_{33} E_z$ $Δη_4 = Δη_5 = Δη_6 = 0$

এই পরিবর্তনের ফলে ইনডেক্স এলিপসয়েডের সমীকরণটি পরিবর্তিত হয়ে দাঁড়ায়:

\left( \frac{1}{n_o^2} + r_{13} E_z \right) (x^2 + y^2) + \left( \frac{1}{n_e^2} + r_{33} E_z \right) z^2 = 1

এই সমীকরণ থেকে নতুন রিফ্র্যাক্টিভ ইনডেক্সগুলো সহজেই বের করা যায়। দেখা যাচ্ছে, z-অক্ষ বরাবর ফিল্ড প্রয়োগ করলে প্রিন্সিপাল অ্যাক্সিসের কোনো রোটেশন হয় না, শুধু সেমি-অ্যাক্সিসের দৈর্ঘ্য পরিবর্তিত হয়। এই নিয়ন্ত্রিত পরিবর্তনই ইলেক্ট্রো-অপটিক মডুলেটরের মূল ভিত্তি।

Quiz Questions 1/5

কোন ধরণের ক্রিস্টালে পকেলস প্রভাব (Pockels effect) দেখা যায়?

Quiz Questions 2/5

ইলেক্ট্রো-অপটিক (EO) প্রভাবের মূল কারণ কী?

ক্রিস্টাল অ্যানিসোট্রপি এবং ইলেক্ট্রো-অপটিক টেনসরের সঠিক বোঝাপড়া মডুলেটর এবং অন্যান্য ফোটোনিক ডিভাইস ডিজাইনের জন্য অপরিহার্য।

অ্যাডভান্সড ইলেক্ট্রো-অপটিক মড্যুলেশন ইঞ্জিনিয়ারিং