La topologie est souvent décrite comme une « géométrie de la feuille de caoutchouc ». Elle étudie les propriétés des objets qui sont conservées après des déformations continues, comme l'étirement ou la torsion, mais sans déchirure ni collage. Pour un topologue, une tasse à café et un beignet sont identiques, car on peut déformer l'un en l'autre de manière continue.

Au cœur de cette branche des mathématiques se trouve l'espace topologique : un concept puissant qui généralise la notion de proximité sans avoir besoin de mesurer des distances. Il s'agit d'un ensemble de points, $X$, doté d'une structure supplémentaire, appelée topologie. Cette structure, notée $\mathcal{T}$, est simplement une collection de sous-ensembles de $X$ que nous décidons de qualifier d'« ouverts ».

Pour qu'une collection de sous-ensembles $\mathcal{T}$ puisse être qualifiée de topologie sur un ensemble $X$, elle doit respecter trois règles simples mais fondamentales. Ces règles, appelées axiomes des ouverts, garantissent que la structure se comporte de manière cohérente.

Ces axiomes sont tout ce dont nous avons besoin pour construire l'édifice de la topologie. Le couple $(X, \mathcal{T})$ forme alors ce qu'on appelle un espace topologique.

Sur un même ensemble $X$, on peut définir de nombreuses topologies différentes, allant de la plus simple à la plus complexe. Prenons un ensemble simple, $X = \{a, b, c\}$, pour illustrer quelques exemples classiques.

La topologie grossière ne permet pas de distinguer les points : tout voisinage d'un point est l'ensemble $X$ tout entier. À l'opposé, dans la topologie discrète, chaque point peut être isolé dans son propre petit ouvert (un singleton comme $\{a\}$), rendant tous les points distincts et « éloignés » les uns des autres.

Vous connaissez déjà les espaces métriques, où la distance entre deux points est bien définie. En fait, tout espace métrique $(X, d)$ induit naturellement une topologie. Dans un espace métrique, on définit un ensemble $U$ comme étant ouvert si, pour chaque point $x$ dans $U$, il existe une boule ouverte centrée en $x$ et entièrement contenue dans $U$.

On peut vérifier que cette collection d'ensembles ouverts, définie à partir de la métrique, satisfait bien les trois axiomes d'une topologie. C'est ce qu'on appelle la topologie induite par la métrique. L'espace euclidien $\mathbb{R}^n$ avec sa distance usuelle est l'exemple le plus courant.

Cependant, toutes les topologies ne proviennent pas d'une métrique. La topologie grossière sur un ensemble avec au moins deux points, par exemple, n'est pas métrisable. C'est là toute la puissance de la topologie : elle offre un cadre plus large que celui des espaces métriques.

Armés de la notion d'ouverts, nous pouvons définir précisément ce qu'est un voisinage. Un sous-ensemble $V$ de $X$ est un voisinage d'un point $x$ s'il existe un ensemble ouvert $U$ tel que $x \in U$ et $U \subseteq V$. Intuitivement, un voisinage d'un point est un ensemble qui contient le point avec une petite « marge de manœuvre » autour de lui.

Enfin, l'intérieur d'un ensemble $A$, noté $\mathring{A}$ ou $\text{int}(A)$, est le plus grand ensemble ouvert contenu dans $A$. C'est l'union de tous les ouverts inclus dans $A$. L'intérieur d'un ensemble est constitué des points pour lesquels $A$ est un voisinage.

Par exemple, l'intérieur de l'intervalle fermé $[0, 1]$ dans $\mathbb{R}$ est l'intervalle ouvert $(0, 1)$. Les points 0 et 1 sont sur la frontière ; ils n'ont pas de « marge de manœuvre » à l'intérieur de l'ensemble.

Ces notions de base, construites sur les simples axiomes des ouverts, sont les fondations sur lesquelles reposent des concepts plus avancés comme la continuité, la compacité et la connexité, que nous explorerons par la suite.